第五百一十四章 莫尔斯理论（2/2）

其中特别是问题2是以黎曼流形上的测地线理论为基础，因而是以普通的变分法为其分析学基础的。

问题1和2是由庞加莱与伯克霍夫(birkhoff，g.d.)所开创，莫尔斯(morse，h.m.)把它们发展成近代的样子，即莫尔斯理论。

继莫尔斯以后，柳斯捷尔尼克(Люctephnk，Л.А.)和施尼雷尔曼(Шhnpeльmah，Л.Г.)开辟了另一条估计临界点个数的途径，即利用畴数来估计流形上函数的临界点。

而斯梅尔(smale，s.)把莫尔斯理论中梯度向量场零点的问题推广为流形m上一般向量场的零点问题，从而导致维数n≥5情形广义庞加莱猜测的解决，这是微分拓扑中的一个重大成就。

其次，由于测地线问题是一维变分问题，故可使得无限维空间Ω上的问题，化为有限维流形上的临界点问题。

但是对于多维变分问题，无法做到这一点，这就使得发展无限维流形上的莫尔斯理论成为需要。总之，近年来莫尔斯理论被进一步推广和精密化，并应用于微分拓扑、微分几何、偏微分方程、杨-米尔斯方程等各个数学领域而取得重要的结果。